То что нужно настоящему мужыку!
Рассчитываете ли вы время, чтобы проверить, как быстро сможете заполнить кофеварку или просто считаете по утра

Семь мостов Кенигсберга – головоломка, которая привела к возникновению новой области математики



Рассчитываете ли вы время, чтобы проверить, как быстро сможете заполнить кофеварку или просто считаете по утрам шаги до автобусной остановки, в монотонности повседневной жизни есть что-то такое, что заставляет нас пытаться превратить ее в игру. Жители прусского города Кенигсберга восемнадцатого века (теперь, как известно, это Калининград) были такими же, как и все мы. Просто игра, в которую они играли с семью мостами в своем городе, однажды вызвала интерес у одного из величайших математиков в истории человечества.

Кенигсберг был построен на берегу реки Прегель (Преголя), которая разделила город на четыре отдельных жилых массива. Люди перебирались из одного района в другой через семь различных мостов. Согласно легенде, популярным развлечением во время воскресных прогулок были попытки пройти через весь город так, чтобы пересечь каждый мост только один раз. Никто так и не придумал, как это сделать, но это вовсе не значит, что задача не имеет решения. Им просто нужно было обратиться к подходящему эксперту, чтобы узнать его.

В 1735 году мэр города Данцига (ныне польский Гданьск), расположенного в 120 километрах к западу от Кенигсберга, Карл Леонард Готлиб Элер, обратился к Леонарду Эйлеру с письмом, в котором просил о помощи в решении этой задачи от имени местного профессора математики по имени Генрих Кюн. Уже тогда Эйлер был знаменитым и весьма успешным математиком – он опубликовал свою первую книгу в течение года после этого письма, а за всю жизнь написал более 500 книг и статей.

Поэтому неудивительно, что сначала Эйлер подумал, что заниматься решением этой задачи ниже его достоинства, и написал в ответ: «Итак, вы видите, досточтимый сэр этот тип решения практически не имеет отношения к математике, и я не понимаю, почему вы обращаетесь с такой просьбой к математику, а не к кому-то еще, поскольку решение основано только на здравом смысле и не зависит ни от одного из известных математических принципов».

Однако, в конце концов, Элеру и Кюну удалось убедить Эйлера, и он понял, что это был совершенно новый тип математики – «геометрия положений», сегодня известная как топология. В топологии точная форма или расположение объекта не имеют значения. Есть даже старая шутка о том, что тополог не в состоянии определить разницу между пончиком и кофейной чашкой, поскольку оба предмета имеют ровно одно отверстие. Об этой совершенно новой области математики до тех пор только писали, но никто еще не понимал, какие проблемы она способна решать. Семь мостов Кенигсберга были прекрасным экспериментальным подтверждением новой теории, поскольку задача не требовала каких-либо измерений или точных расчетов. Можно превратить сложную карту города в простой и понятный граф (схему), не теряя при этом никакой важной информации.

Хотя у кого-то может возникнуть соблазн решить эту задачу, наметив все возможные маршруты через город, Эйлер сразу осознал, что эта стратегия потребует слишком много времени и не будет работать с другими схожими задачами (что, если в другом городе будет, скажем, двенадцать мостов?). Вместо этого он решил на время отвлечься от мостов и пометил участки суши буквами A, B, C и D. Таким образом, он теперь мог описать путешествие через мост из района А в район В как АВ, а путешествие из района А через район В район D как АВD. Здесь важно отметить, что количество букв в описании маршрута всегда будет на единицу больше, чем количество пересекаемых мостов. Так, маршрут АВ пересекает один мост, а маршрут АВD – два моста, и так далее. Эйлер понял, что поскольку в Кенигсберге семь мостов, а для того, чтобы пересечь их все, маршрут должен состоять из восьми букв, значит, решение задачи потребует именно восьми букв.

Затем он придумал более общее правило, используя еще более упрощенную схему. Если бы у вас было всего два сухопутных участка, А и В, и вы пересекали мост один раз, то участок А мог бы быть там, где путешествие начиналось, или там, где оно заканчивалось, но вы находились бы на участке А только однажды. Если бы вы пересекали мосты а, b и c по одному разу, то оказались бы на участке А ровно два раза. Это привело к созданию удобного правила: если у вас имеется четное число мостов, ведущих на один участок суши, вы должны добавить к этому числу единицу, а затем разделить полученную сумму на два, чтобы выяснить, сколько раз этот участок должен использоваться в ходе путешествия. (в данном примере, добавив единицу к количеству мостов, то есть к 3, получаем четыре, а разделив четыре на два получаем два, то есть именно дважды в путешествии пересекается участок А).

Этот результат вернул Эйлера к первоначальной проблеме. Есть пять мостов, которые ведут к участку А, поэтому в восьмибуквенном решении, которое он ищет, его придется пересекать три раза. У участков В, С и D есть по два моста, которые ведут к ним, поэтому каждый из них должен пересекаться дважды. Но 3+2+2+2 – это 9, а не 8, хотя по условию нужно пройти только через 8 участков и пересечь 7 мостов. Это означает, что невозможно пройти через весь город Кенигсберг, использовав каждый мост ровно один раз. Другими словами, в данном случае задача не имеет решения.

Однако, как и всякий истинный математик, Эйлер на этом не остановился. Он продолжал работать и создал более общее правило для других городов с другим количеством мостов. Если в городе нечетное количество мостов, то существует простой способ выяснить, можете ли вы совершить такое путешествие или нет: если сумма количества появлений каждой буквы, обозначающей участок земли, на единицу больше, чем количество мостов (как, например, в восьмибуквенном решении, о котором упоминалось ранее), такое путешествие возможно. Если же сумма больше этого числа, оно невозможно.

А как насчет четного количества мостов? В этом случае все зависит от того, с чего начать. Если вы начинаете с участка А и путешествуете по двум мостам, А в вашем решении появится дважды. Если вы начнете с другой стороны, то А появится только один раз. Если имеется четыре моста, тогда А появляется три раза, если этот участок был отправной точкой, или два раза, если не был. В общем виде это означает, что, если путешествие не начинается с участка А, он должен пересекаться вдвое меньшее количество раз, чем число мостов (четыре деленное на два дает два). Если же путешествие начинается с участка А, тогда он должен пересекаться на один раз больше.

Гениальность решения Эйлера заключается даже не в ответе, а в методе, который он применил. Это был один из первых случаев использования теории графов, также известной как теория сетей, весьма востребованной области математики в современном мире, заполненном транспортными, социальными и электронными сетями. Что касается Кенигсберга, в городе в конечном итоге появился еще один мост, который сделал решение Эйлера спорным, а затем британские войска разрушили большую часть города во время второй мировой войны. Сегодня и город и река имеют новые названия, но старинная задача живет в совершенно новой области математики.

Игорь Абрамов

 

Источник:

http://mixstuff.ru


Источник: Семь мостов Кенигсберга – головоломка, которая привела к возникновению новой области математики
Опубликовал:
Теги: история отношение шутка форма Интересно мост

Комментарии (10)

Сортировка: Рейтинг | Дата
Константин Камалетдинов
Цитата:"Что касается Кенигсберга, в городе в конечном итоге появился еще один мост, который сделал решение Эйлера спорным, а затем британские войска разрушили большую часть города во время второй мировой войны. Сказать:"Я ох..л" - ничего не сказать... Там не британские, там зулусы и пигмеи... Вот бриттам немцы точно наваляли бы... Автор этой статьи - без мозгов. И образования. Да и город не британские войска разрушили большую часть города во время второй мировой войны, а просто советская армия снесла.Пусть съездит в Кёниг и спросит.
Эдуард Щербаков
ответ из Кёнигсберга: в 1944 году английская авиация впервые применила технику коврового бомбометания, причём фосфорными бомбами.
Андрей Гаврилов 
Кёнигсберг и ВВС Великобритании.

Кёнигсберг на протяжении семи веков обретал свой неповторимый облик, а на то, чтобы устроить тут выжженную пустыню, понадобился всего час.

Бомбардировки английской авиации в августе 1944 года - одна из самых страшных страниц в истории Кёнигсберга. Чтобы наглядно оценить масштабы того бедствия, достаточно взять любое старое фото центральной части города, выйти на середину моста и сравнить изображение на снимке с тем, что видишь вокруг.
Смотришь с высоты окрест и с трудом веришь, что раньше здесь всё было плотно застроено.
Операция британских ВВС называлась без затей - "Кёнигсберг". В ночь с 26 на 27 августа 1944 года английская авиация совершила первый массированный налёт на этот город. Было задействовано 174 бомбардировщика "Ланкастер". Потери англичан составили 4 самолёта. В городе серьёзно пострадала внушительная территория - северные пригороды, район нынешнего Московского проспекта. Однако тот налёт был лишь разведкой. Самый страшный удар последовал в ночь с 29 на 30 августа. То, что творилось в охваченных напалмовым огнём кварталах, очевидцы называют одним и тем же словом: ад!
Одно из свидетельств содержится в книге "Закат Кёнигсберга" знаменитого немецкого скрипача Михаэля Вика, пережившего налёт 16-летним юношей: "Это был ад. Весь центр города бомбардировщики планомерно усеивали канистрами с напалмом, впервые применённым именно здесь, и разрывными и зажигательными бомбами различной конструкции. В результате весь центр вспыхнул почти разом. Резкое повышение температуры и мгновенное возникновение сильнейшего пожара не оставили гражданскому населению, жившему в узких улочках, никаких шансов на спасение. Люди сгорали и у домов, и в подвалах: Около трёх суток в город было невозможно войти. И по прекращении пожаров земля и камень оставались раскалёнными и остывали медленно. Чёрные руины с пустыми оконными проёмами походили на черепа..."
Спустя годы другой, невольный участник тех событий, Юрий Хоржемпа, "остарбайтер". В Восточную Пруссию его угнали из Гродно. Юрий Иосифович пережил в Кёнигсберге оба налёта.
"Это был уже сущий ад. Британцы впервые применили заряды с напалмом. Пожарные пытались справиться с морем огня, но оно захлёстывало всех. Утром земля блестела от ленточек фольги, с помощью которых англичане сбивали с толку радары. Центр Кёнигсберга пылал несколько дней. Из-за невыносимого жара туда было не войти. Когда жар спал, "остарбайтерам" приказали собирать трупы. Стоял жуткий смрад. Останки складывали на телеги и увозили за город, где закапывали в братские могилы. Этой страшной работой приходилось заниматься даже детям".
Из 189 "Ланкастеров", участвовавших во втором налёте, на базу не вернулось 15 самолётов. Сообщалось, что в городе не менее 5.000 человек погибли, около 200.000 остались без крова. А вот военные объекты не пострадали. Так зачем тогда был весь этот ужас? Целились в кёнигсбергский порт, да малость промахнулись? Нет, ошибки не было. Лётчики отбомбились точно по целям, которые значились в полётных заданиях. Военные объекты разрушать и не планировалось. Операция "Кёнигсберг" была акцией устрашения. Потому и утюжили плотно застроенный, густонаселённый центр.
Говорят, начало бесчеловечной воздушной войне против мирных жителей положили ВВС Третьего рейха, подвергнув варварским бомбардировкам Варшаву, Роттердам и Ковентри. Упаси боже быть адвокатом нацистов. Но нельзя не признать: самых страшных результатов достигли англичане, методично уничтожавшие авиабомбами немецкие города. Они считали, что удары по жилым кварталам снижают у нации волю к сопротивлению. Спорный вопрос. По мнению многих историков, такая жестокость, напротив, добавляла немцам ненависти и стремления стоять до конца. Но так или иначе авиарейды по стиранию с лица земли целых городов продолжались до самой капитуляции Третьего рейха.
Тогда союзниками была разработана целая методика: какие бомбы следует бросать первыми, какие - во вторую очередь, чтобы в результате район поражения превратился в огромный пожар. Известна трагедия Дрездена в феврале 1945 года - высшее "достижение" разработчиков методики бомбардировок. Кёнигсбергу же выпало на долю стать первым крупным немецким городом, который был уничтожен "по науке".
Разрушая Кёнигсберг, англичане преследовали ещё одну цель - продемонстрировать Советам мощь Великобритании. Ведь к тому времени Уинстон Черчилль не исключал, что очень скоро придётся воевать с СССР.
Армада "Ланкастеров" могла бы разнести в пух и прах и кёнигсбергский порт, и железные дороги, и опоясывающую город линию обороны. Это ускорило бы падение Восточной Пруссии, сохранило бы десятки и сотни тысяч жизней советских воинов. Так почему же в 1944 году английские бомбардировщики уничтожили центр города, а не, скажем, форты вокруг него? Ещё и потому, что в 1943 году на конференции "большой тройки" в Тегеране было решено передать этот город и прилегающий к нему район Советскому Союзу. А раз так, чего жалеть "чужое"? Кроме того, не повредив в Кёнигсберге военные объекты, англичане оставляли возможность гитлеровцам до последнего сражаться с Красной армией...
Юрий Грачёв 
"Британским войскам" в сухопутном их варианте действительно было не дотянуться до Кёнигсберга. Но то, что натворила их авиация ещё до того, как Красная Армия появилась в Восточной Пруссии, там до начала 70-х пришлось разгребать. Поэтому не нужно создавать у тех, кто не в курсе, впечатлениий о том, что авиация западных "союзников" - не варвары. А в "Кёниге" про варварство англичан хорошо знают : я сам там жил.
Евгений Волынский
Всегда поражает упорное стремление любую тему свести к политическому срачу. Прекрасно изложенная легенда о зарождении теории графов и гениальности Эйлера - так нет, надо обязательно зацепиться за одну фразу в конце, не имеющую к идее статьи никакого отношения!
Константин Камалетдинов
Игорь Абрамов - кто это такой?
Дмитрий Бородин
Так имеет задача решение или нет? У меня не получилось.
марк домашнев 
Хотел схитрить, доходя до половины моста.
Написать комментарий:
Напишите ответ :
Феномен Мертвого озера в Пензенской области получил новое объяснение
Феномен Мертвого озера в Пензенской области получил новое объяснение
11
Мужской журнал 05:02 05 ноя 2018
Математики вычислили, сколько лет осталось до Третьей мировой войны
Математики вычислили, сколько лет осталось до Третьей мировой войны
4
Мужской журнал 06:02 16 мар 2018
Обработка древесины для получения эффекта старения Обработка древесины для получения эффекта старения
«Крымский мост придется снести»
«Крымский мост придется снести»
70
Ваши новости 12:01 17 май 2018
Крымский мост не дает покоя украинцам: Даешь сразу семь мостов!
Крымский мост не дает покоя украинцам: Даешь сразу семь мостов!
1
Ваши новости 20:01 01 авг 2018
Озеро страха и чудовище озера Чаны — мифы и факты о самых опасных водоёмах Новосибирской области
Озеро страха и чудовище озера Чаны — мифы и факты о самых опасных водоёмах Новосибирской области
5
Мужской журнал 06:01 04 авг 2018
На что пошел экипаж украинского судна для прохода под Керченским мостом
На что пошел экипаж украинского судна для прохода под Керченским мостом
25
Ваши новости 22:01 08 сен 2017
Яркие учительницы, в которых влюбляются старшеклассники и их отцы
Яркие учительницы, в которых влюбляются старшеклассники и их отцы
6
Авто-Тема 18:46 05 окт 2018
Семь фактов русской жизни, которые шокируют иностранцев
Семь фактов русской жизни, которые шокируют иностранцев
12
Ваши новости 11:01 26 июн 2018
Семь названий России, о которых вы наверняка не знали
Семь названий России, о которых вы наверняка не знали
23
Ваши новости 05:02 16 янв 2018
Украина начала зарабатывать на Крымском мосту
Украина начала зарабатывать на Крымском мосту
5
Ваши новости 00:01 22 май 2018
Генрих Люшков. Человек, обманувший судьбу на семь лет
Генрих Люшков. Человек, обманувший судьбу на семь лет
8
Мужской журнал 09:01 21 май 2018
Педерасты - за закон о профилактике домашнего насилия.
Педерасты - за закон о профилактике домашнего насилия.
0
Ваши новости 21:31 Сегодня

Выберете причину обращения:

Выберите действие

Укажите ваш емейл:

Укажите емейл

Такого емейла у нас нет.

Проверьте ваш емейл:

Укажите емейл

Почему-то мы не можем найти ваши данные. Напишите, пожалуйста, в специальный раздел обратной связи: Не смогли найти емейл. Наш менеджер разберется в сложившейся ситуации.

Ваши данные удалены

Просим прощения за доставленные неудобства